Die Gammafunktion mit Beispiel

Mit der Gammafunktion lassen sich Fakultäten von rationale, reelle oder komplexe Zahlen berechnen. In diesem Beitrag möchte ich zusammen mit Xiaozan die Gammafunktion vorstellen und schriftlich die Fakultät von 1/2 berechnen.

Die Gammafunktion ist definiert als das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich und hat als Funktion das Produkt mit t hoch z-1 und e hoch t. t ist die unbekannte und z kann beliebig gewählt werden.

Wir setzen als z den Wert 0,5 und vereinfachen das Integral. Die negativ gebrochene Potenz wird umgeschrieben.
Dann wird die Wurzel aus t durch u substituiert und daraus folgt u^2=t. Die Wurzel aus t wird differenziert und die Gleichung nach dt aufgelöst. Die neuen Integrationsgrenzen sind dieselben wie die alten, denn die Wurzel aus 0 ist 0 und der Grenzwert der Wurzel gegen unendlich ist immer noch unendlich.

Nun werden alle t durch u ersetzt. Die Wurzel aus t im Nenner kann gekürzt werden. Es bleibt das Integral von 0 bis unendlich aus e hoch -u hoch 2 übrig. Es handelt sich dabei um das Gauss-Integral mit der Lösung Wurzel pi.
Das nächste Mal gibt es ein Beispiel wofür die Gammafunktion als Hilfsmittel benutzt werden kann.

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