Hola amig@s, continuando con el recorrido por el ámbito de las Estructura Algraicas, que inciábamo en la publicación anterior, hoy abordaremos lo relativo a la Estructura de Grupo una de los sistemas axiomáticos más básicos y fundamentales de la matemática y el cual pertenece a un estadio de mayor complejidad que el de los Monoides y los Semigrupos, que tratábamos en la publicación anterior.

El concepto de Grupo

La idea de grupo parte de un conjunto no vacìo G y una funciòn * . Luego el par ( G, *) es un grupo si y sòlo sì * es una Ley de Composición Interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *.

En forma simbólica podemos reescribir lo anterior de la manera siguiente:

Si además se verifica, un quinto axioma Ax-5

Entonces se llama grupo conmutativo o abeliano

En el conjunto Z de los números enteros se define * mediante:
a * b = a + b + 3 (llamaremos 1 a esta ley)

El par (Z, ) es un grupo abeliano. En efecto se verifican:
Ax-1: * es una ley de composición interna en Z, por definición 1, la suma en Z es cerrada.
Ax-2: * es asociativa en Z
(ab)c=(a+b+3)c=a+b+3+c+3=a+b+c+6 (esto es 2)
Por otro lado:
a(bc)=a*(b+c+3)=a+b+c+3+3=a+b+c+6 (esto es 3)

De (2) y de (3), resulta:

(ab)c=a(bc)

Ax-4: Existe elemento neutro en Z respecto de *
Si e es neutro, entonces se verifica que a*e= a, luego
Por (1) a + e + 3 = a y resulta, entonces que e= -3

Análogamente se prueba que -3 es neutro por la izquierda.
Ax-4: Todo elemento de G es inversible respecto de *

Si a` es el inverso de a, entonces se verifica:

a * a`= e, teniendo en cuenta (1) y que e= -3, tenemos:

a + a` + 3 = -3

Luego, a`= - 6 - a.

De manera análoga se prueba que es inverso por la izquierda.

Ax-5: * es conmutativa, ya que:

a * b = a + b + 3=b + a + 3= b * a

De acuerdo con (1) y con (2) y según la conmutatividad de la suma en Z.

Para saber más

Si quieres saber un poco màs de la teoría de grupo y de quien fuera su creador te invito a visitar una vieja publicación sobre Evariste Galois, que publiqué hace unos meses allí podrás conocer algo de la historia de este joven, y genio, matemático que murió de forma absurda y fue nada más y nada menos que el creador de la teoría de Grupos.