揭秘本福德定律：大自然中的对数关系

随着年龄的增长，越来越觉得时间过得飞快，一年又一年，一眨眼就过去了。回顾小时候，总是觉得一年好漫长，盼寒假，盼暑假，感觉过了好长时间才能盼得到。之前我还以为之所以有这种感受，是因为成人的生活越来越规律化，朝九晚五，几十年来如一日，一年与一天似乎没有太大区别。

不过，更合理的解释其实是随着我们的年龄增长，一年在我们经历中所占的比例越来越小。如果对一个7岁的孩子来说，一年是他一生的七分之一；而对一位70岁的老人来说，一年只不过是七十分之一，他当然觉得这一年过得很快了。换句话说，在感觉上，小时候的一年似乎抵得上年老后的好多年。这里就会发现一个非常有趣的数学关系，就是它们遵循对数关系。

不光是时间给人这样的感觉，很多其他感知也遵循对数关系。比如音乐中的音阶，低八度音阶中最低音和最高音之间的频率差，与高八度音阶中最低音和最高音之间的频率差，也是倍数关系，音阶并非均匀分布。还有声音强度的单位分贝实际上也是基于对数关系，声音强度增加10分贝通常意味着声音强度增加10倍，人耳感受到的响度增加一倍。像这样的例子还可以举出很多，似乎可以得出一个有趣的结论：我们的宇宙似乎按照对数关系构建的。

而且由大自然中这种普遍存在的对数关系，还可以得出一个非常有趣的数学定律，叫本福德定律。这一定律曾经在2020年的美国大选中引起了广泛的关注。可以做一个简单的实验，将超市中尽可能多的商品价格记录下来，然后统计这些商品价格的首位数字。如果按照常理，这些数字应该平均地分配给1到9个数字，但统计的结果会发现，数字一开头的商品价格比例占的比例高得多，达到30%，其它首位数字的分布概率有一定的规律，但绝对不是平均分配。

在2020年美国大选的时候，计票过程中出现了所谓的“拜登曲线”，使得特朗普在几个关键战场州被拜登反超，输掉了大选。特朗普随即否认失败，指责民主党在这些关键战场州作弊。当时就有懂数学的人，将这些争议州的选票按照争议州各个县拜登的得票数单列出来进行统计，结果发现确实不符合本福德定律，似乎在一定程度上佐证了特朗普的指控。虽然这并不能算作确凿的证据，但本福德定律确实在发现财务造假方面发挥着非常重要的作用。

本福德定律的应用之广，超乎想象。你可以拿各种数据来做实验，比如找一张统计表，列举全世界各个国家领土面积，同样对首位数字进行统计，你会发现这串数字仍然是符合本福德定律的。还有A股的股票价格也可以用来验证符合本福德定律，为什么会有这样的现象呢？难道大自然，或者说是宇宙，真的是按照对数关系设计的吗？本福德定律和对数关系有什么联系呢？如果一件事情完全随机，毫无规律可循的话，那它应该像噪音一样均匀分布，为什么首位数字之间的分布频率有如此显著的差距呢？这其实也是对数关系在作怪，在发挥作用。

然而，并不是所有的数据集都会服从本福德定律。如果以人类的身高来做统计的话，那么90%以上的数字会是数字一开头，极少数人的身高是数字二开头，而数字三开头的身高则几乎没有。要服从本福特定律，那么这些数据必须在数量级上，数据之间的差异必须在数量级之上，也就是10倍百倍以上的差距。以世界各国的领土面积为例，像俄罗斯、中国、美国这样的大国，其领土面积可能相当于一个中小国家的几十倍甚至上百倍。这些跨度很大的数据看似非均匀分布，但如果对数据取一个对数，其分布可能会更接近均匀。