퀴즈 473 평면의 4점

평면에 4점을 찍어서 여섯개의 선분이 두개의 서로 다른 길이를 가지도록 하는 방법의 경우의 수를 구하여라

풀이

직접 그려보면 6가지가 나온다는 것을 알 수 있다.

자 일단 가능한 경우의 수를 나열해보자.

점 4개를 찍었을 때 만들 수 있는 도형은 사각형과, 삼각형+점 이 있다.

사각형의 경우 4변의 길이가 모두 정사각형, 마름모, 그리고 직사각형과 평행사변형이 존재한다.

정사각형은 대각선의 길이와 한변의 길이, 즉 서로 다른 두 길이를 가지고 6개의 선분 표시가 가능하다. 마름모의 경우 정삼각형 두개를 이어붙이는 모양을 생각하면 대각선 긴 변의 길이만 다르고 나머지 5변의 길이는 같게 만들 수 있다.

이런 의미에서 직사각형은 최소한 길이가 다른 3개의 선분이 필요함으로 사각형 모양의 조건에서 부합하지 않는다. 평행 사변형의 경우 양 대각선의 길이를 밑변과 같게 하면 가능하다.

즉 4각형 모양을 유지한 것에서 가능한 도형은, 마름모, 정사각형, 평행사변형 형태이다.

점 위치에는 A,B,C,D 를 표현하고 이를 그림으로 그려보았다.

자 이제 3각형+ 점 구조를 보자.

일단 정삼각형과 그 내점을 생각해 볼 수 있겠다. 정삼각형의 내심, 외심, 무게중심은 모두 같은 위치에 있다. 즉 삼각형 꼭지점에 점을 찍고 무게중심에 점을 찍으면 선분 2개로 6개[삼각형의 변 + 각 꼭지점에서 무게중심까지의 선분 3개] 로 해당 그래프를 기술 가능하다.

무게 중심이 아니면 선분이 3개 이상이 필요하니까 정삼각형에 내점을생각할 경우 딱 위의 경우에만 해당한다.

정삼각형과 그 외부의 점을 생각해 볼 수 있다. 이 경우도 역시 서로 다른 2 변의 길이로 6개 선분을 만들 수 있다. [정삼각형 1 + 이등변 삼각형 1 이 때 정삼각형의 공통의 변을 기준으로 이등변 삼각형을 그린거라 선분은 5개가 나온다. 하지만 이등변 삼각형의 꼭지점과 공통된 변이 아닌 다른 점에서의 꼭지점과의 거리를 정삼각형의 한 변의 길이아 같게 만들어주면 선분 6개의 그래프를 그릴 수 있다. ]

다음은 이등변 삼각형을 생각해보자. 이등변 삼각형의 긴 두변의 길이가 같다고 했을 때 짧은 밑변을 정삼각형으로 만드는 내부에 점을 찍으면 해당 조건에 맞는 그래프를 그릴 수 있다.

이런 위의 6가지 그림이 가능하다.