Mapa de karnaugh resumen y dos ejemplos

Resumen del Mapa de Karnaugh

El mapa de Karnaugh (K-map) es una herramienta gráfica utilizada para simplificar expresiones booleanas. Organiza los minitérminos (combinaciones de variables) en una tabla donde celdas adyacentes difieren en un solo bit (código Gray). Esto permite agrupar celdas con valor 1 para obtener términos simplificados.

Características clave:

• Variables: Para (n) variables, el mapa tiene (2^n) celdas.
• Adyacencia: Las celdas son adyacentes horizontal y verticalmente (incluyendo bordes opuestos, como un toroide).
• Agrupamientos:
  • Grupos de (2^k) celdas (1, 2, 4, 8, ...).
  • Cada grupo elimina variables que cambian dentro de él.
• Resultado: Suma de productos (SOP) simplificada.

Pasos para simplificar:

1. Construir el mapa según las variables.
2. Llenar con 1s los minitérminos de la función.
3. Formar grupos de 1s adyacentes (más grandes posibles).
4. Derivar términos por grupo (variables constantes).
5. Sumar los términos resultantes.

Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Ejemplo 1: Función de 3 variables

Función:
[ F(A, B, C) = \sum (0, 1, 2, 4, 5, 6) ]

Paso 1: Construir el mapa
Disposición para 3 variables (A en filas, BC en columnas con código Gray):

     BC
      00  01  11  10
A  0 | 1   1   0   1
   1 | 1   1   0   1

Paso 2: Formar grupos

• Grupo 1 (Verde): Celdas (A=0, BC=00), (A=0, BC=01), (A=1, BC=00), (A=1, BC=01) → Minitérminos 0, 1, 4, 5.
• Grupo 2 (Azul): Celdas (A=0, BC=00), (A=0, BC=10), (A=1, BC=00), (A=1, BC=10) → Minitérminos 0, 2, 4, 6.

Paso 3: Derivar términos

• Grupo 1:
  • BC cambia: 00 y 01 → B=0 constante → (\overline{B}).
  • A cambia → Se elimina.
    → Término: (\overline{B}).
• Grupo 2:
  • BC cambia: 00 y 10 → C=0 constante → (\overline{C}).
  • A cambia → Se elimina.
    → Término: (\overline{C}).

Paso 4: Expresión final
[ F = \overline{B} + \overline{C} ]

Comprobación:

• (\overline{B} = 1) cubre minitérminos con B=0: 0, 1, 4, 5.
• (\overline{C} = 1) cubre minitérminos con C=0: 0, 2, 4, 6.
• Unión cubre todos: 0, 1, 2, 4, 5, 6. ✔️

Ejemplo 2: Función de 4 variables

Función:
[ F(A, B, C, D) = \sum (0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15) ]

Paso 1: Construir el mapa
Disposición para 4 variables (AB en filas, CD en columnas con código Gray):

     CD
      00  01  11  10
AB 00 | 1   1   1   1
   01 | 1   1   1   0
   11 | 0   1   1   1
   10 | 1   1   1   1

Paso 2: Formar grupos

• Grupo 1 (Rojo): Filas AB=00 (minitérminos 0, 1, 3, 2) → (\overline{A} \overline{B}).
• Grupo 2 (Amarillo): Filas AB=10 (minitérminos 8, 9, 11, 10) → (A \overline{B}).
• Grupo 3 (Verde): Columnas CD=01 y CD=11 (minitérminos 1, 5, 9, 13, 3, 7, 11, 15) → (B D) (A y C cambian).
• Grupo 4 (Azul): Celdas (AB=01, CD=00) y (AB=01, CD=01) (minitérminos 4, 5) → (\overline{A} B \overline{C}).
• Grupo 5 (Morado): Celdas (AB=11, CD=10) y (AB=10, CD=10) (minitérminos 14, 10) → (A C \overline{D}).

Paso 3: Derivar términos

• Grupo 1: (\overline{A} \overline{B}).
• Grupo 2: (A \overline{B}).
• Grupo 3: (B D) (A y C cambian, se eliminan).
• Grupo 4: (\overline{A} B \overline{C}) (D cambia, se elimina).
• Grupo 5: (A C \overline{D}) (B cambia, se elimina).

Paso 4: Expresión final
[ F = \overline{A} \overline{B} + A \overline{B} + B D + \overline{A} B \overline{C} + A C \overline{D} ]

Comprobación:

• (\overline{A} \overline{B}): Minitérminos 0, 1, 2, 3.
• (A \overline{B}): Minitérminos 8, 9, 10, 11.
• (B D): Minitérminos 5, 7, 13, 15.
• (\overline{A} B \overline{C}): Minitérminos 4, 5.
• (A C \overline{D}): Minitérminos 10, 14.
• Todos los minitérminos están cubiertos. ✔️

Conclusión

El mapa de Karnaugh permite simplificar funciones booleanas visualmente mediante agrupaciones estratégicas. Los ejemplos muestran cómo reducir expresiones complejas a formas mínimas usando adyacencias y eliminación de variables redundantes.

Aqui les dejo este resumen de ese tema motivado a la materia Logica digital
Saludos