Integration durch Substitution

Eine weitere Möglichkeit, ein Integral zu lösen, besteht darin, dass man die Funktion oder Teile der Funktion substituiert. Substitution bedeutet das Ersetzen eines Termes durch einen anderen, weniger komplizierten Term.
Wenn man die Substitutionsregel anwendet, muss man bei bestimmten Integralen auch die Integrationsgrenzen für die Substitutionsvariabel berechnen.

In diesem Beispiel haben wir einen Bruch mit einer Wurzel im Nenner. Der Lösungsvorschlag ist, den Inhalt der Wurzel zu substituieren. Die Substitutionsvariable lautet hier u. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst und dann differenziert. Anschließend wird die Gleichung nach dx aufgelöst, denn dieses müssen wir im Integral ersetzen.

Die neuen Integrationsgrenzen werden berechnet mit u=3x+36. Für x werden die alten Grenzwerte eingesetzt, um die neuen zu erhalten.
Nun wird das Integral so weit wie möglich vereinfacht und dann die Stammfunktion gebildet. Mit dem Einsetzen der Integrationsgrenzen erhält man den Flächeninhalt.

Aber was soll man substituieren, wenn sich das Integral nicht mit der normalen Integration oder der partiellen Integration lösen lässt? Eine eindeutige Antwort ist mir nicht bekannt. Aber es gibt einige Fälle, wo man substituieren kann. Zum Beispiel, wenn es einen Bruch gibt und der Zähler die Ableitung vom Nenner ist. Oder der zweite Faktor ist die Ableitung des ersten Faktors, also f(x)*f'(x).

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