[수학] e, sin1, cos1, tan1 -2 근사값

지난번 포스팅에는, [수학] e, sin(1), cos(1), tan(1) is irrational e, sin1, cos1, tan1 이 무리수라는 것을 보였다. 테일러 급수를 이용해서 보인 것이었는데, 이번 포스팅에는 그 근사값을 구하는 것에 대해 알아보자. 이런 내용도 예전의 입시에는 단골 내용이었는데....

먼저 e 부터 가보자. e 의 값은 2.71828 .... 으로 무리수로 알려져 있다. e 의 값의 bound 를 사람들은 어떻게 계산했었을까?

네이피어는 로그표를 만들었고 베르누이는 이를 이용해 대략적인 e 의 값을 알아냈다.

사실 지난번에 보인 e 의 무리수 증명에서 쓰였던 방식으로 (테일러 급수) 로도 사실 e 의 값을 대략적으로 구할 수 있다.

먼저 e<3 이란 것을 보이고 e 의 값을 근사해 보자.

로 부터 팩토리얼이 e 의 전개에 중요하다는 것을 알 수 있다.

일반적으로 k>2 일 때 k! 은 2^{k-1} 보다 크다.

이를 이용하고, 등비급수의 합을 이용하면 3보다 작다는 것을 알 수 있다.

물론 테일러 급수의 의미 자체가 어떤 함수의 근사값을 구하려고 하는 것이기에, 이런 식으로 bounded 값을 정하는 것 보다 그 근사값을 직접적으로 구할수도 있다.

대략적으로 8차 항 까지 전개한 e 의 값은 다음과 같다.

똑같은 방식으로 sin1, cos1, tan1 도 그 근사값을 구할 수 있다. 메트메티카와 같은 수치 프로그램의 값이 바로 이런 근사값으로 계산된 값을 불러오는 것으로 알고 있다.

미적분학의 중요성은 바로 정확히 알 수 없는 수치를 근사를 통해 대략적인 값을 알 수 있다는 점에 있다. 삼각함수와 지수함수는 측정이나 복리 문제 등 실생활과 관련된 문제였다. 삼각함수는 전쟁 특히 로켓과도 연관이 많았고, 지수함수는 금융과 연관이 많았다. 이런 값들을 대략적으로 계산한 작업들은 실생활에 많은 영향을 끼쳤다.