수능, 그리고 수시 시즌이 다가왔다. 오늘은 충분히 고등학교 수준에서 보일 수 있는, 이전에 대학 논술고사에서 비슷한 것들을 다룬적이 있는 주제를 가져왔다. e, sin(1), cos(1), tan(1) 이 무리수임을 보이는 문제인데, 이런 문제들을 직접적으로 보이는 것은 매우 어렵다. 귀류법을 이용하면 쉽게 보일 수 있는데, 한번 그 과정을 살펴보자.

1. tan(1)

먼저 tan(x) 에서 x 가 0 이 아닌 유리수 값이 무리수라는 것은 고등학교에서 배운 내용만으로 증명 가능하다. 이것부터 먼저 해보자.

tan(1) 이 유리수라고 가정하자. 유리수라는 것은 tan(1) = m/n, n 은 0이 정수 로 쓰여진다는 것을 의미한다. tan 의 합 공식에 의해

tan 2는

tan(1) 은 1 이 아니기에 m 은 n 과 다른 값이 되고 분모는 0이 될 수 없다. 이런식으로 0이 아닌 어떤 정수 k 에 대해서, tan(k) 는 유리수의 합과 곱으로 적힌다. [이런 성질을 유리수체라고 한다. ] 따라서 tan(k) 는 유리수가 된다. 그러나 tan(30) = 1/sqrt[3] 이고 root 3은 유리수가 아니기에, tan(30) 은 유리수가 아니다. 즉 tan(1) 은 무리수이다.

2. sin(1), cos(1), e

sin과 cos 도 비슷한 방식으로 구할 수 있다면 얼마나 좋을까? 아쉽게도 sin 과 cos 의 합차 공식은 tan 와 달리 섞여 있다. [tan 의 합차 공식은 tan 만으로만 이루어져 있지만, sin 과 cos 의 합차 공식은 서로 섞여 있다.]

sin과 cos 그리고 e 의 경우, 테일러 시리즈를 이용하면 쉽게 무리수임을 보일 수 있다. 수시 문제의 경우 각 함수의 테일러 시리즈 값을 주고 sin(1), cos(1) 이 무리수임을 보이라는 문제가 충분히 등장 할 수 있다.

각 함수의 테일러 전개 형태는 다음과 같다.

자 먼저 sin(1) 을 전개해보자.

앞에 (-1)^n 이 성가신다. 짝수 항, say (2m) 까지만 전개하고 나머지는 급수 형태로 적자. 자 sin(1) 이 유리수라고 가정해보자. 특별히 sin(1) = p/m 이라 하자. 그러면 sin(1)에 m 을 곱하면 정수가 될 것이다. 2m 항까지 끊었으니 (4m+1)! 를 곱하면

급수항 전 까지의 모든 숫자는 다들 정수이다. (4m+1)!, (4m+1)!/3! 등등 (4m+1)!/(4m+1)!=1, 이 숫자들은 정수이다. 정수의 합과 차는 정수가 나온다. sin(1) x(4m+1)! 이 정수이니까 뒤에 급수 항들도 당연히 정수가 되어야 한다. 그러나

뒤의 값은 정수가 아니게 된다. 즉 sin(1)x(4m+1)! 은 정수가 아니고 이로써 sin(1) 은 유리수가 아니게 된다.

비슷한 방식으로 cos(1) 도 보일 수 있다.

e 도 똑같다. e가 유리수라고 가정한다음에, 특정 m 항까지 전개하고 나머지 급수의 크기를 비교하면 된다. e=p/m 이라 하면, em 은 정수가 될 것이고 exm! 도 정수가 될 것이다.

급수 앞의 모든 항이 정수가 되니까 급수도 정수가 되어야 한다. 그러나

즉 e 는 무리수이다.