[수학?] 극장에 커플들이 들어가 앉을 때 빈자리는 전체 공간의 몇 퍼센트?

극장관에 커플들이 들어가 앉을 때 빈자리는 전체 공간의 몇 퍼센트가 될까?

[편의상 길다란 한 줄만 생각하자]

상황 설명

극장 관에 커플들이 들어가 자리에 앉으려고 한다. 커플들은 2명이 한 조가 되어 빈자리에 앉는다. 다만 커플들은 항상 붙어 있어야 하며, 떨어져 앉을 수 없다.

이 때 커플들이 앉고 남은 자리는 전체 자리의 몇 퍼센트가 될까? [1인석들이 남을 것이다.]

답 : 1/e^2, 이를 생각해 낼 수 있겠는가? 이 문제는 n 개의 좌석에 비어있는 평균 자릿수를 S_n 이라 하고 점화식을 통해 구할 수 있다.

초기값은

S_4 부터는 계산을 좀 해야 한다.

pairing 을 하니까 pair 를 하나로 보고 전체에서 하나를 빼주는 테크닉을 사용하면 된다.

자 이제 계차수열을 풀어보자. [사실 계차수열의 또 계차를 풀어야 한다.]

참고로 여기서 사용된 수학은 고등학교 때의 계차수열의 일반항 공식 밖에 없다.

근사가 아닌 정확한 일반항은

이제 문제로 돌아가 보자, 극장관에 커플들이 들어가 남은 빈자리는 대략 1/e^2 x100 = 13.6 퍼센트 이다.

이 문제는 처음 화학 논문에서 나온 문제로, 스티븐 스트로가츠의 x의 즐거움에서 유도과정이 없어 직접 논문을 찾아 계산 과정을 따라가 봤다.

뒷부분에도 비슷한 reaction 과 관련된 확률 계산이 나오는데, 화학 논문에서 이런 확률 계산 문제가 등장하다니 신선하고 재미있다. 이런 문제들을 화학 시간에 좀 소개를 해주지... 1939년도 논문인데, 80년이 지난 지금은 아주 쉽게 읽힌다.

그만큼 사람들의 수학, 과학 실력이 늘어난 것일까.. 후대 80년 쯤 뒤에는 내가 썼던 여러 잡다한(?) 것들이 기본 상식이 되어 있으려나?